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Definition Geometrischer Verlauf (PG)

Was ist geometrischer Fortschritt (PG):

Es ist eine numerische Folge, in der jeder Term aus dem zweiten das Ergebnis der Multiplikation des vorherigen Terms mit einer Konstanten q ist, die als Verhältnis von PG bezeichnet wird.

Beispiel für den geometrischen Fortschritt

Die numerische Folge (5, 25, 125, 625 ...) ist ein wachsendes PG mit q = 5. Das heißt, jeder Ausdruck dieses PGs, multipliziert mit seinem Verhältnis ( q = 5), ergibt den folgenden Ausdruck.

Formel zum Ermitteln des Verhältnisses (q) eines PG

Innerhalb des Crescent PG (2, 6, 18, 54 ...) gibt es eine Konstante ( q ), die noch unbekannt ist. Um es zu entdecken, muss man die Bedingungen des PGs berücksichtigen, wobei: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an) und diese in der folgenden Formel anwenden:

q = a 2 / a 1

Um den Grund für dieses PG zu finden, wird die Formel wie folgt entwickelt: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.

Das Verhältnis ( q ) des obigen PG beträgt 3.

Da das Verhältnis eines PGs konstant ist, das heißt, es gilt für alle Begriffe, können wir die Formel mit anderen Begriffen bearbeiten, aber immer durch den Vorgänger teilen. Es sei daran erinnert, dass das Verhältnis eines PGs eine beliebige rationale Zahl sein kann, mit Ausnahme von Null (0).

Beispiel: q = a 4 / a 3, was innerhalb des PGs ebenfalls zu q = 3 führt.

Formel, um den PG-Begriff zu finden

Es gibt eine Grundformel, um einen Begriff in einem PG zu finden. Im Falle von PG (2, 6, 18, 54, a n ...) zum Beispiel, wobei n noch als fünfter oder n-ter Term oder 5 bezeichnet werden kann. Um diesen oder einen anderen Begriff zu finden, wird die allgemeine Formel verwendet:

a n = am ( q ) nm

Praxisbeispiel - Formel des allgemeinen Begriffs PG entwickelt

Es ist bekannt, dass

a n ist ein beliebiger unbekannter Begriff;

a m ist der erste Ausdruck von PG (oder ein beliebiger anderer, falls der erste Ausdruck nicht existiert);

q ist das Verhältnis von PG;

Daher wird in PG (2, 6, 18, 54, a n ...), wo der fünfte Term (a 5 ) gesucht wird, die Formel auf folgende Weise entwickelt:

a n = am ( q ) nm

bei 5 = 1 (q) 5-1

bei 5 = 2 (3) 4

bei 5 = 2, 81

bei 5 = 162

Somit findet man, dass der fünfte Term (a 5 ) von PG (2, 6, 18, 54, a n ...) = 162 ist.

Es muss daran erinnert werden, dass es wichtig ist, den Grund für ein PG herauszufinden, einen unbekannten Begriff zu finden. Im Falle von PG war das Verhältnis beispielsweise bereits als 3 bekannt.

Die geometrischen Progressionsklassifizierungen

Crescent Geometric Progression

Damit ein PG als steigend betrachtet wird, ist sein Verhältnis immer positiv und seine Ausdrücke werden größer, das heißt innerhalb der numerischen Sequenz.

Beispiel: (1, 4, 16, 64 ...) mit q = 4

Im aufsteigenden PG mit positiven Ausdrücken ist q > 1 und mit den negativen Ausdrücken 0 < q <1.

Geometrische abnehmende Progression

Damit ein PG als abnehmend betrachtet wird, ist sein Verhältnis immer positiv und ungleich Null, und seine Terme nehmen innerhalb der numerischen Reihenfolge ab, das heißt, sie nehmen ab.

Beispiele: (200, 100, 50 ...) mit q = 1/2

In dem abnehmenden PG mit positiven Ausdrücken 0 < q <1 und mit negativen Ausdrücken q > 1.

Oszillierender geometrischer Fortschritt

Damit ein PG als oszillierend betrachtet wird, ist sein Verhältnis immer negativ ( q <0) und seine Terme wechseln zwischen negativ und positiv.

Beispiel: (-3, 6, -12, 24, ...), wobei q = -2 ist

Konstante geometrische Entwicklung

Wenn ein PG als konstant oder stationär betrachtet wird, ist sein Verhältnis immer eins ( q = 1).

Beispiel: (2, 2, 2, 2 ...) mit q = 1.

Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Progression

Wie PG besteht auch BP aus einer numerischen Sequenz. Die Terme eines PA sind jedoch das Ergebnis der Summe jedes Terms mit dem Verhältnis ( r ), während die Terme eines PGs, wie oben beispielhaft dargestellt, das Ergebnis der Multiplikation jedes Terms mit seinem Verhältnis ( q ) sind .

Beispiel:

In PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) beträgt das Verhältnis ( r ) 2. Das heißt, der erste zu r 2 addierte Term ergibt den nächsten Term und so weiter.

In PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) ist das Verhältnis ( q ) ebenfalls 2. Aber in diesem Fall wird der Term mit q 2 multipliziert, was zum nächsten Term führt und so weiter.

Siehe auch die Bedeutung der arithmetischen Progression.

Praktische Bedeutung eines PG: Wo kann es angewendet werden?

Die geometrische Progression ermöglicht die Analyse der Abnahme oder des Wachstums von etwas. In der Praxis ermöglicht das PG unter anderem die Analyse der thermischen Schwankungen, des Bevölkerungswachstums und anderer Arten von Nachweisen, die in unserem täglichen Leben vorhanden sind.

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