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Definition Wahrheitstabelle

Was ist Wahrheitstabelle:

Wahrheitstabelle oder Wahrheitstabelle ist ein mathematisches Werkzeug, das im Bereich des logischen Denkens weit verbreitet ist. Ihr Zweck besteht darin, die logische Gültigkeit eines zusammengesetzten Satzes (Argument, das aus zwei oder mehr einfachen Sätzen besteht) zu überprüfen.

Beispiele für zusammengesetzte Vorschläge:

  • John ist groß und Maria ist klein.
  • Pedro ist groß oder Joana ist blond.
  • Wenn Pedro groß ist, ist Joana rot.

Jeder der oben zusammengestellten Sätze besteht aus zwei einfachen Sätzen, die durch die fett hervorgehobenen Verbindungselemente verbunden werden. Jeder einfache Satz kann entweder wahr oder falsch sein, und dies wird direkt den logischen Wert des zusammengesetzten Satzes implizieren. Wenn wir den Satz " John ist groß und Mary ist niedrig " annehmen , werden die folgenden Bewertungen möglicherweise bewertet:

  • Wenn John groß ist und Mary niedrig ist, ist der Ausdruck "John ist groß und Mary ist niedrig" WAHR.
  • Wenn John groß ist und Mary nicht niedrig ist, lautet der Ausdruck "John ist groß und Mary ist niedrig" FALSCH.
  • Wenn John nicht groß ist und Mary niedrig ist, lautet der Ausdruck "John ist groß und Mary ist niedrig" FALSCH.
  • Wenn John nicht groß und Mary nicht niedrig ist, lautet der Ausdruck "John ist groß und Mary ist niedrig" FALSCH.

In der Wahrheitstabelle werden diese Argumente (siehe das Thema " Konjunktion" weiter unten) direkter dargestellt. Außerdem können die Wahrheitstabellenregeln unabhängig von der Anzahl der Sätze im Satz angewendet werden.

Wie funktioniert das?

Wandeln Sie zunächst die Sätze der Frage in Symbole um, die in der Logik verwendet werden. Die universell verwendete Symbolliste ist:

SymbolLogische OperationBedeutungBeispiel
p.Vorschlag 1p = John ist groß.
q.Vorschlag 2q = Mary ist niedrig.
~Ablehnungnicht tunWenn John groß ist, ist " ~ p " FALSE.
^Konjunktionundp ^ q = John ist groß und Mary ist niedrig.
vDisjunktionoderp v q = John ist groß oder Mary ist niedrig.
Bedingtwenn jap q = Wenn John groß ist, ist Mary niedrig.
(D.h.Bedingungwenn und nur wennp q = John ist genau dann groß, wenn Mary niedrig ist.

Als nächstes wird eine Tabelle mit allen Möglichkeiten der Bewertung eines zusammengesetzten Vorschlags erstellt, die die Affirmationen durch Symbole ersetzt. Es sollte klargestellt werden, dass in Fällen, in denen es mehr als zwei Sätze gibt, diese durch die Buchstaben r, s usw. symbolisiert werden können.

Schließlich wird die durch die gezeigte Verbindung definierte logische Operation angewendet. Entsprechend der obigen Liste können diese Operationen: Ablehnung, Konjunktion, Disjunktion, bedingt und bedingt sein.

Ablehnung

Ablehnung wird durch ~ symbolisiert . Die logische Operation der Ablehnung ist die einfachste und verzichtet häufig auf die Verwendung der Wahrheitstabelle. Nach demselben Beispiel, wenn John groß ist (p), um zu sagen, dass John nicht groß ist (~ p), ist FALSE und umgekehrt.

Konjunktion

Die Konjunktion wird durch ^ symbolisiert. Das Beispiel "Johannes ist groß und Maria ist niedrig" wird durch "p ^ q" symbolisiert und die Wahrheitstabelle lautet:

Die Konjunktion schlägt eine Idee der Akkumulation vor. Wenn also einer der einfachen Sätze falsch ist, ist es unmöglich, dass der zusammengesetzte Satz wahr ist.

Schlussfolgerung : Konjunktive zusammengesetzte Sätze (die das verbindende e enthalten ) werden nur dann wahr sein, wenn alle ihre Elemente wahr sind.

Beispiel:

  • Paulo, Renato und Tulio sind nett und Caroline ist lustig. - Wenn Paulo, Renato oder Tulio nicht nett sind oder Carolina nicht lustig ist, lautet der Vorschlag FALSCH. Es ist notwendig, dass alle Informationen wahr sind, damit der zusammengesetzte Satz WAHR ist.

Disjunktion

Die Disjunktion wird durch v symbolisiert. Austausch des Konnektivums von dem obigen Beispiel zu oder wir werden "John ist groß oder Mary ist niedrig" haben. In diesem Fall wird der Satz durch "p v q" symbolisiert und die Wahrheitstabelle lautet:

Die Disjunktion impliziert eine Idee der Abwechslung, es reicht also, dass einer der einfachen Sätze wahr ist, so dass auch die Verbindung stimmt.

Schlussfolgerung : disjunktive zusammengesetzte Sätze (die das oder das Verbindungselement enthalten) werden nur dann falsch sein, wenn alle ihre Elemente falsch sind.

Beispiel:

  • Meine Mutter, mein Vater oder mein Onkel geben mir ein Geschenk. - Damit die Aussage WAHR ist, reicht es aus, dass nur eine zwischen Mutter, Vater oder Onkel das Geschenk gibt. Der Vorschlag wird nur dann falsch sein, wenn keiner von ihnen es gibt.

Bedingt

Die Bedingung wird durch symbolisiert . Es wird durch die Verbindungselemente selbst und dann ausgedrückt, die die einfachen Sätze in einer kausalen Beziehung miteinander verbinden. Das Beispiel "Wenn Paulo Carioca ist, dann ist er Brasilianer" wird zu "p q" und die Wahrheitstabelle lautet:

Konditionale haben einen Vorläufer und einen Folgerungssatz , getrennt durch das Konnektivum. Bei der Analyse der Bedingungen ist es notwendig, die Fälle zu bewerten, in denen der Satz möglich ist, und dabei das Verhältnis der Implikation zwischen Vorläufer und Konsequenz zu berücksichtigen.

Schlussfolgerung : Bedingte zusammengesetzte Vorschläge (die die Verbindungselemente nur dann enthalten) werden nur dann falsch sein, wenn der erste Satz wahr und der zweite Satz falsch ist.

Beispiel:

  • Wenn Paulo ein Carioca ist, dann ist er Brasilianer. - Damit dieses Angebot als WAHR betrachtet wird, müssen die Fälle bewertet werden, in denen es möglich ist. Gemäß der Wahrheitstabelle oben haben wir:
  1. Paulo ist Brasilianer / Paulo ist Brasilianer = MÖGLICH
  2. Paulo ist Carioca / Paulo ist kein Brasilianer = UNMÖGLICH
  3. Paulo ist nicht aus Carioca / Paulo ist Brasilianer = MÖGLICH
  4. Paulo ist kein Carioca / Paulo ist kein Brasilianer = MÖGLICH

Bedingung

Die Bedingung wird durch symbolisiert . Die Konnektivitäten werden genau dann gelesen, wenn sie die einfachen Sätze zu einer Äquivalenzbeziehung verbinden. Das Beispiel "John freut sich, wenn und nur wenn Maria lächelt." wird "p q" und die Wahrheitstabelle lautet:

Die Bedingungen legen eine Idee der gegenseitigen Abhängigkeit nahe. Wie der Name selbst zeigt, besteht die Bedingung aus zwei Bedingungen: einer, der von p nach q (p q) und einer in der entgegengesetzten Richtung (q p) abweicht.

Schlußfolgerung : Sätze, die aus zwei Bedingungen bestehen (die Verbindungselemente enthalten, wenn und nur wenn ), werden nur dann wahr sein, wenn alle Sätze wahr sind oder alle Sätze falsch sind.

Beispiel:

  • John freut sich wenn und nur wenn Maria lächelt. - Das bedeutet:
  1. Wenn John glücklich ist, lächelt Maria und wenn Maria lächelt, ist John glücklich = WAHR
  2. Wenn João nicht glücklich ist, lächelt Maria nicht und wenn Maria nicht lächelt, ist João nicht glücklich = WAHR
  3. Wenn John glücklich ist, lächelt Mary nicht = falsch
  4. Wenn John nicht glücklich ist, lächelt Maria = FALSCH

Allgemeine Übersicht

Es ist üblich, dass Gelehrte der Wahrheitstabelle die Schlussfolgerungen jeder logischen Operation auswendig lernen. Um Zeit für die Problemlösung zu sparen, bedenken Sie immer Folgendes:

  1. Konjunktivsätze: Sie werden nur dann wahr sein, wenn alle Elemente wahr sind.
  2. Disjunktive Sätze: Sie werden nur dann falsch sein, wenn alle Elemente falsch sind.
  3. Bedingte Sätze : Sie werden nur dann falsch sein, wenn der erste Satz wahr und der zweite falsch ist.
  4. Zweidimensionale Sätze: Sie werden nur dann wahr sein, wenn alle Elemente wahr sind oder alle Elemente falsch sind.

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